Intégrale de sec(x) sujet

Bonsoir/Bonjour !

J'essaye de trouver l'intégrale de la fonction sécante.
J'ai fait un calcul mais la réponse de fin n'est pas la bonne et je ne trouve pas d'erreur dans mon développement:




Je pose:


ainsi:


Mon intégrale devient:






Je met ça sous la forme d'une somme de fraction:


On trouve ainsi:


qui se simplifie:



en dérivant le résultat on ne trouve pas sec(x), mais je ne vois pas où se developpement est faux.
Maple me donne le résultat suivant:



je n'ai pas vérifié le résultat car je souhaite trouver de moi même cette intégrale.

Merci de bien vouloir m'aider.